Des matrices et des congruences...

Énoncé

Poursuivons l'exercice D'après bac S, 2015, Amérique du Nord.
On reprend la matrice  \(M=\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&-1&1\\4&2&1 \end{pmatrix}\)  dont on a calculé l'inverse   \(M^{-1}=\dfrac{1}{6}(M^2-M-8I_3)\)  à la partie A.

Partie C - Cas général

Les nombres \(a, b, c, p, q, r\)  sont des entiers. On cherche à déterminer dans quels cas la parabole d'équation  \(y=ax²+bx+c\)  passe par les points  \(A(1;p), B(-1; q)\)  et  \(C(2; r)\) .

1. Démontrer que, si \(\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix} p\\q\\r \end{pmatrix}\) , alors on a le système de congruences  \(-3p+q+2r\equiv 0 \ [6]\)
\(3p-3q\equiv 0 \ [6]\)
\(6p+2q-2r\equiv 0 \ [6]\)

2. En déduire que l'on a :  \(q-r\equiv 0 \ [3]\)  et  \(p-q\equiv 0 \ [2]\) .

3. Réciproquement, on admet que, si  \(q-r\equiv 0 \ [3]\)  et  \(p-q\equiv 0 \ [2]\)  et les points  \(A, B, C\)  ne sont pas alignés, alors il existe trois entiers  \(a, b, c\)  tels que la parabole d'équation  \(y=ax²+bx+c\)  passe par les points  \(A, B\)  et  \(C\) .
    a. Montrer que les points   \(A, B\)  et  \(C\)  sont alignés si et seulement si  \(2r+q-3p=0\) .
    b. On choisit  \(p=7\) . Déterminer des entiers  \(q, r, a, b, c\)  tels que la parabole d'équation  \(y=ax²+bx+c\)  passe par les points  \(A, B\)  et  \(C\) .